Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \ln (2)$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn $2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$u_{upper} = \ln (2^{2})$

Bước 1.5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\ln (4)} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\ln (4)} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln (4)} e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{\ln (4)}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $e^{u}$ tại $\ln (4)$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{\ln (4)}) - e^{0})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{2} (4 - e^{0})$

Bước 5.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1)$

Bước 5.2.4

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Bước 5.2.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{2}$

Dạng thập phân:

$1.5$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{1}{2}$

Bước 7