Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} {(1 - 4 x)}^{2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - 4 x$ . Sau đó $d u = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$0 - 4$

Bước 1.1.4

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$- 4$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - 4 x$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 4$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - 4 x$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \cdot 2$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Bước 1.5.2

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} \frac{1}{- 4} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{- 7} u^{2} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{- 7} - \frac{u^{2}}{4} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{- 7} \frac{u^{2}}{4} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{- 7} u^{2} d u)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{- 7}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $- 7$ và tại $1$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot - 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 343$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{- 343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 6.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 6.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 343 - 1}{3}$

Bước 6.2.7

Trừ $1$ khỏi $- 343$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 344}{3}$

Bước 6.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4} (- \frac{344}{3})$

Bước 6.2.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{344}{3}$

Bước 6.2.10

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{344}{3}$

Bước 6.2.11

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{344}{3}$ .

$\frac{344}{4 \cdot 3}$

Bước 6.2.12

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{344}{12}$

Bước 6.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $344$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $344$ .

$\frac{4 (86)}{12}$

Bước 6.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Bước 6.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 86}{4 \cdot 3}$

Bước 6.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{86}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{86}{3}$

Dạng thập phân:

$28.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$28 \frac{2}{3}$

Bước 8