Giải tích Ví dụ

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Sau đó $d u_{2} = \cot (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Bước 1.1.5.2

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 1.1.5.3

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 1.1.5.4

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (\sin (x))$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$