Giải tích Ví dụ

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 2.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$5 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$5 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 5 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 5$ .

$\frac{- 5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ ở dạng $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.2

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{15}{4 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.3

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$