Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{4} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Bước 3

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 9 x]_{2}^{4}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$ và $9 x]_{2}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ tại $4$ và tại $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $64$ .

$\frac{64}{3} + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.3

Nhân $9$ với $4$ .

$\frac{64}{3} + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.4

Để viết $36$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 36 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.5

Kết hợp $36$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{64 + 36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.7.1

Nhân $36$ với $3$ .

$\frac{64 + 108}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.7.2

Cộng $64$ và $108$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.10

Nhân $9$ với $2$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.11

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.12

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.14.1

Nhân $18$ với $3$ .

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 54}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.14.2

Cộng $8$ và $54$ .

$\frac{172}{3} - \frac{62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{172 - 62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.16

Trừ $62$ khỏi $172$ .

$\frac{110}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.17

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.18.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2^{2}}{2})$

Bước 7.2.3.19

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{4}{2})$

Bước 7.2.3.20

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Bước 7.2.3.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.20.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Bước 7.2.3.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Bước 7.2.3.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2}{1})$

Bước 7.2.3.20.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 1 \cdot 2)$

Bước 7.2.3.21

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 2)$

Bước 7.2.3.22

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$\frac{110}{3} - 6 \cdot 6$

Bước 7.2.3.23

Nhân $- 6$ với $6$ .

$\frac{110}{3} - 36$

Bước 7.2.3.24

Để viết $- 36$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} - 36 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 7.2.3.25

Kết hợp $- 36$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} + \frac{- 36 \cdot 3}{3}$

Bước 7.2.3.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{110 - 36 \cdot 3}{3}$

Bước 7.2.3.27

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.27.1

Nhân $- 36$ với $3$ .

$\frac{110 - 108}{3}$

Bước 7.2.3.27.2

Trừ $108$ khỏi $110$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$

Bước 9