Giải tích Ví dụ

$\int_{- 4}^{2} x^{2} + 2 x - 8 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 4}^{2} x^{2} d x + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 \int_{- 4}^{2} x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + - 8 x]_{- 4}^{2}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2}$ và $- 8 x]_{- 4}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$ tại $2$ và tại $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (2 - \frac{16}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (2 - \frac{8}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.4.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.5

Nhân $- 1$ với $8$ .

$2 (2 - 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.6

Trừ $8$ khỏi $2$ .

$2 \cdot - 6 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.7

Nhân $2$ với $- 6$ .

$- 12 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- 12 + \frac{1}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.10

Nhân $- 8$ với $2$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.11

Để viết $- 16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.12

Kết hợp $- 16$ và $\frac{3}{3}$ .

$- 12 + \frac{8}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 12 + \frac{8 - 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.14.1

Nhân $- 16$ với $3$ .

$- 12 + \frac{8 - 48}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.14.2

Trừ $48$ khỏi $8$ .

$- 12 + \frac{- 40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.16

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 64 - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.17

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 64$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{- 64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} - 8 \cdot - 4)$

Bước 7.2.3.19

Nhân $- 8$ với $- 4$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32)$

Bước 7.2.3.20

Để viết $32$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 7.2.3.21

Kết hợp $32$ và $\frac{3}{3}$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3})$

Bước 7.2.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Bước 7.2.3.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.23.1

Nhân $32$ với $3$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 96}{3}$

Bước 7.2.3.23.2

Cộng $- 64$ và $96$ .

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{32}{3}$

Bước 7.2.3.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 12 + \frac{- 40 - 32}{3}$

Bước 7.2.3.25

Trừ $32$ khỏi $- 40$ .

$- 12 + \frac{- 72}{3}$

Bước 7.2.3.26

Triệt tiêu thừa số chung của $- 72$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.26.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 72$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3}$

Bước 7.2.3.26.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.26.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 (1)}$

Bước 7.2.3.26.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 \cdot 1}$

Bước 7.2.3.26.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 12 + \frac{- 24}{1}$

Bước 7.2.3.26.2.4

Chia $- 24$ cho $1$ .

$- 12 - 24$

Bước 7.2.3.27

Trừ $24$ khỏi $- 12$ .

$- 36$

Bước 8