Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\cos^{4} (x)$ ra ngoài.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\cos (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 4.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Bước 5

Khai triển ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(1 - u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 5.5

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 5.6

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.7

Nhân $1$ với $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.11

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 5.13

Cộng $2$ và $2$ .

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 5.14

Trừ $u^{2}$ khỏi $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Bước 5.15

Sắp xếp lại $- 2 u^{2}$ và $u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Bước 5.16

Di chuyển $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Bước 8

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ và $u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\frac{1}{5} u^{5} + u$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Bước 13.2

Tính $\frac{u^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.5

Cộng $1$ và $5$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.7

Nhân $\frac{1}{5}$ với $0$ .

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.8

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.9

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.10

Cộng $\frac{6}{5}$ và $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 13.3.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 13.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 13.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 13.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 13.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 13.3.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

Bước 13.3.14

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

Bước 13.3.15

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

Bước 13.3.16

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

Bước 13.3.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

Bước 13.3.18

Để viết $\frac{6}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 13.3.19

Để viết $- \frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 13.3.20

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.20.1

Nhân $\frac{6}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 13.3.20.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 13.3.20.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Bước 13.3.20.4

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

Bước 13.3.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Bước 13.3.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.22.1

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Bước 13.3.22.2

Nhân $- 2$ với $5$ .

$\frac{18 - 10}{15}$

Bước 13.3.22.3

Trừ $10$ khỏi $18$ .

$\frac{8}{15}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8}{15}$

Dạng thập phân:

$0.5\overline{3}$