Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\sin^{4} (x)$ ra ngoài.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\sin (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 4.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Bước 6

Khai triển ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại ${(1 - u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 6.5

Di chuyển $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 6.6

Di chuyển $u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.7

Nhân $1$ với $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.11

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 6.13

Cộng $2$ và $2$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 6.14

Trừ $u^{2}$ khỏi $- u^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Bước 6.15

Sắp xếp lại $- 2 u^{2}$ và $u^{4}$ .

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Bước 6.16

Di chuyển $1$ .

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Bước 10

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

Bước 14

Kết hợp $\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ và $u]_{1}^{0}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Bước 15

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Tính $\frac{u^{5}}{5} + u$ tại $0$ và tại $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

Bước 15.2

Tính $\frac{u^{3}}{3}$ tại $0$ và tại $1$ .

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.7

Cộng $1$ và $5$ .

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.8

Trừ $\frac{6}{5}$ khỏi $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 15.3.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

Bước 15.3.12

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi $0$ .

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

Bước 15.3.13

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

Bước 15.3.14

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

Bước 15.3.15

Để viết $- \frac{6}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 15.3.16

Để viết $\frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 15.3.17

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.17.1

Nhân $\frac{6}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 15.3.17.2

Nhân $5$ với $3$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 15.3.17.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Bước 15.3.17.4

Nhân $3$ với $5$ .

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

Bước 15.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Bước 15.3.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.19.1

Nhân $- 6$ với $3$ .

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

Bước 15.3.19.2

Nhân $2$ với $5$ .

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

Bước 15.3.19.3

Cộng $- 18$ và $10$ .

$- \frac{- 8}{15}$

Bước 15.3.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{8}{15}$

Bước 15.3.21

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{8}{15})$

Bước 15.3.22

Nhân $\frac{8}{15}$ với $1$ .

$\frac{8}{15}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8}{15}$

Dạng thập phân:

$0.5\overline{3}$