Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{2 x}{3}$ . Sau đó $d u = \frac{2}{3} d x$ , nên $\frac{3}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{2 x}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $2 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Bước 1.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Bước 1.3.1.2.4

Chia $2 \cdot 0$ cho $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 1.3.2

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{2 x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Bước 1.5.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 π}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Bước 1.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Bước 1.5.2.2

Chia $π$ cho $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Bước 2.3

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Bước 2.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Bước 5

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $0$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Bước 6.4

Cộng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 6.5

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Dạng thập phân:

$1.29903810 \dots$