Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} \cos (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{3}$ và $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$x^{3} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (3 x^{2}) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2} \cdot 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot 3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int \sin (2 x) (x^{2}) d x)$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} \int \sin (2 x) (x^{2}) d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x)$

Bước 6.3

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} (2 x) d x)$

Bước 6.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - 2 \frac{\cos (2 x)}{2} x d x)$

Bước 6.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- 2 \cos (2 x)}{2} x d x)$

Bước 6.6

Kết hợp $\frac{- 2 \cos (2 x)}{2}$ và $x$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- 2 \cos (2 x) x}{2} d x)$

Bước 6.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (2 x) x$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2} d x)$

Bước 6.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2 (1)} d x)$

Bước 6.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{2 (- \cos (2 x) x)}{2 \cdot 1} d x)$

Bước 6.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int \frac{- \cos (2 x) x}{1} d x)$

Bước 6.7.2.4

Chia $- \cos (2 x) x$ cho $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \cos (2 x) x d x)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - - \int \cos (2 x) x d x)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + 1 \int \cos (2 x) x d x)$

Bước 8.2

Nhân $\int \cos (2 x) x d x$ với $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \int \cos (2 x) x d x)$

Bước 9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Bước 10.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

Bước 10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x))$

Bước 12

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 12.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 12.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 13

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u)$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u)$

Bước 15.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Bước 16

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Viết lại $\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$ ở dạng $\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$

Bước 17.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Để viết $- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 17.2.2

Kết hợp $- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x)}{2} + \frac{- \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 17.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 17.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 2 (\frac{3}{2}) (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 17.2.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 2 \cdot 3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 17.2.6

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 6}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 17.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 17.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 17.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 17.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{- 3}{1} (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 17.2.7.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4})}{2} + C$

Bước 18

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4})}{2} + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2}) - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 19.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.2.1

Nhân $- 3 (- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + 3 \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 19.1.2.1.2

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{2} \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{x \sin (2 x)}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 19.1.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 (x \sin (2 x))}{2} - 3 \frac{\cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 19.1.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{\cos (2 x)}{4}$ .

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 (x^{2} \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 (x \sin (2 x))}{2} + \frac{- 3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 19.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 x^{2} \cos (2 x)}{2} - \frac{3 x \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 19.1.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{3} \sin (2 x) + \frac{3 x^{2} \cos (2 x)}{2} - \frac{3 x \sin (2 x)}{2} - \frac{3 \cos (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 19.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (x^{3} \sin (2 x) + \frac{3}{2} x^{2} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x \sin (2 x) - \frac{3}{4} \cos (2 x)) + C$