Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

Bước 1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Bước 1.1.1.2

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

Bước 1.1.1.3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 1.1.1.3.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Bước 1.1.1.3.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo ra một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số, và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số có bậc 2, ta cần $2$ số hạng trên tử số. Số số hạng cần thiết trên tử số luôn bằng với số bậc của thừa số dưới mẫu.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.1.2

Chia $A x + B$ cho $1$ .

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x^{2} + 1)}^{2}$ và $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.2.1

Nhân với $1$ .

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Bước 1.1.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Bước 1.1.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

Bước 1.1.6.2.2.4

Chia $(C x + D) (x^{2} + 1)$ cho $1$ .

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

Bước 1.1.6.3

Khai triển $(C x + D) (x^{2} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

Bước 1.1.6.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

Bước 1.1.6.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Bước 1.1.6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.4.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.4.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Bước 1.1.6.4.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.4.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Bước 1.1.6.4.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Bước 1.1.6.4.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

Bước 1.1.6.4.2

Nhân $C$ với $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

Bước 1.1.6.4.3

Nhân $D$ với $1$ .

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

Bước 1.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Di chuyển $B$ .

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

Bước 1.1.7.2

Di chuyển $C x$ .

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

Bước 1.1.7.3

Di chuyển $A x$ .

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

Bước 1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x^{3}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = C$

Bước 1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x^{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = D$

Bước 1.2.3

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A + C$

Bước 1.2.4

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = B + D$

Bước 1.2.5

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Bước 1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Bước 1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ bằng $0$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

Bước 1.3.2.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ trong $1 = A + C$ bằng $0$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn $1 = A + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Bước 1.3.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.2.1

Cộng $A$ và $0$ .

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $D$ bằng $0$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $A = 1$ .

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

Bước 1.3.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $D$ trong $0 = B + D$ bằng $0$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Bước 1.3.3.3

Rút gọn $0 = B + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Bước 1.3.3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.2.1

Cộng $B$ và $0$ .

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Bước 1.3.4

Viết lại phương trình ở dạng $B = 0$ .

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

Bước 1.3.5

Giải hệ phương trình.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

Bước 1.3.6

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

Bước 1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ , $B$ , $C$ và $D$ .

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5.1.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Nhân $0$ với $x$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5.3

Chia $0$ cho $x^{2} + 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

Bước 1.5.4

Loại bỏ số 0 từ biểu thức.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 7.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$