Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{3} + 4}{x^{2} + 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Bước 5

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + 1}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 1}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 1}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Bước 11.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 3} + 4}{2^{2} + 1}}$

Bước 11.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\sqrt{\frac{2^{4} + 4}{2^{2} + 1}}$

Bước 11.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\sqrt{\frac{16 + 4}{2^{2} + 1}}$

Bước 11.3

Cộng $16$ và $4$ .

$\sqrt{\frac{20}{2^{2} + 1}}$

Bước 11.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{20}{4 + 1}}$

Bước 11.5

Cộng $4$ và $1$ .

$\sqrt{\frac{20}{5}}$

Bước 11.6

Chia $20$ cho $5$ .

$\sqrt{4}$

Bước 11.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Bước 11.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2$