Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

Bước 1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

Bước 1.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

Bước 1.1.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

Bước 1.1.1.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Bước 1.1.1.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo ra một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số, và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số có bậc 2, ta cần $2$ số hạng trên tử số. Số số hạng cần thiết trên tử số luôn bằng với số bậc của thừa số dưới mẫu.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4.2.2

Chia $(x + 1) (x - 1)$ cho $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.5

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.6.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.7.1.2

Chia $A (x^{2} + 1)$ cho $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.7.3

Nhân $A$ với $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.7.4.2

Chia $(B x + C) (x)$ cho $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Bước 1.1.7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Bước 1.1.7.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.6.1

Di chuyển $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Bước 1.1.7.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Bước 1.1.8

Di chuyển $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Bước 1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x^{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A + B$

Bước 1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = C$

Bước 1.2.3

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$- 1 = A$

Bước 1.2.4

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

Bước 1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

Bước 1.3.2

Viết lại phương trình ở dạng $A = - 1$ .

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- 1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $1 = A + B$ bằng $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Bước 1.3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

Bước 1.3.4

Giải tìm $B$ trong $1 = - 1 + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Bước 1.3.4.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

Bước 1.3.4.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

Bước 1.3.5

Giải hệ phương trình.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

Bước 1.3.6

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

Bước 1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ , $B$ và $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 9.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Bước 10

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Bước 11

Rút gọn.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$