Giải tích Ví dụ

$\int (1 - 6 x) e^{3 x - 9 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x - 9 x^{2}$ . Sau đó $d u = (3 - 18 x) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = (1 - 6 x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x - 9 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 9 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 9 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{2}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 - 9 (2 x)$

Bước 1.1.4.3

Nhân $2$ với $- 9$ .

$3 - 18 x$

Bước 1.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 18 x + 3$

Bước 1.1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 - 18 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 9 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x - 9 x^{2}} + C$