Giải tích Ví dụ

$y = x^{\ln (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{\ln (x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{\ln (x)})$ bằng cách di chuyển $\ln (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Bước 2

Nâng $\ln (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Bước 3

Nâng $\ln (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Bước 4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Bước 5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 8

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Bước 9.3

Kết hợp $e^{\ln^{2} (x)}$ và $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Bước 10.2

Nhân $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Sắp xếp lại $\ln (x)$ và $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Bước 10.2.2

Rút gọn $2 \cdot \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$