Giải tích Ví dụ

$\cos (x y^{2}) = y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x y^{2}$ .

$- \sin (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{2}$ .

$- \sin (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- \sin (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \sin (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- \sin (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Bước 2.7

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (x y^{2}) (2 x y y') - \sin (x y^{2}) y^{2}$

Bước 2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (x y^{2}) (x y y') - \sin (x y^{2}) y^{2}$

Bước 2.8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 x y \sin (x y^{2}) y' - y^{2} \sin (x y^{2})$

Bước 3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 2 x y \sin (x y^{2}) y' - y^{2} \sin (x y^{2}) = y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 x y \sin (x y^{2}) y' - y^{2} \sin (x y^{2})$ .

$- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y^{2} \sin (x y^{2}) = y'$

Bước 5.2

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y^{2} \sin (x y^{2}) - y' = 0$

Bước 5.3

Cộng $y^{2} \sin (x y^{2})$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y' = y^{2} \sin (x y^{2})$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 x y y' \sin (x y^{2}) - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 x y y' \sin (x y^{2})$ .

$y' (- 2 x y \sin (x y^{2})) - y' = y^{2} \sin (x y^{2})$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (- 2 x y \sin (x y^{2})) + y' \cdot - 1 = y^{2} \sin (x y^{2})$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 2 x y \sin (x y^{2})) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1) = y^{2} \sin (x y^{2})$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1) = y^{2} \sin (x y^{2})$ cho $- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1) = y^{2} \sin (x y^{2})$ cho $- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1)}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1} = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1)}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1} = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 2 x y \sin (x y^{2}) - 1}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x y \sin (x y^{2})$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- (2 x y \sin (x y^{2})) - 1}$

Bước 5.5.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- (2 x y \sin (x y^{2})) - 1 (1)}$

Bước 5.5.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x y \sin (x y^{2})) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)}$

Bước 5.5.3.4

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.4.1

Viết lại $- (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)$ .

$y' = \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{- 1 (2 x y \sin (x y^{2}) + 1)}$

Bước 5.5.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{2 x y \sin (x y^{2}) + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x y^{2})}{2 x y \sin (x y^{2}) + 1}$