Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x + y} = 1 + x^{2} y^{2}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + y}$ ở dạng ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 + x^{2} y^{2}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2} y^{2})$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.6.3

Di chuyển ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.9

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.10.2

Nhân $1 + y'$ với $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2} y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Bước 4.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y^{2}$ .

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

Bước 4.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Bước 4.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân cả hai vế với $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$1 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.1.1.4

Sắp xếp lại $1$ và $y'$ .

$y' + 1 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' + 1 = 2 x^{2} y y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2.1.2.3

Di chuyển $y$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y' y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2.1.2.4

Di chuyển $x^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2.2.1.2.5

Di chuyển $y^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' + 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 6.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 6.3.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 6.3.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Bước 6.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ cho $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ cho $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 6.3.4.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$