Giải tích Ví dụ

$8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{3}] + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 9$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 9$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$8 (x (6 {(x^{2} + 9)}^{2} x) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (x^{1} x (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Cộng $1$ và $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \cdot 1)$

Bước 10

Nhân ${(x^{2} + 9)}^{3}$ với $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Bước 11.2

Nhân $6$ với $8$ .

$48 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Bước 11.3

Đưa $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ ra ngoài $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2} + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ ra ngoài $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Bước 11.3.2

Đưa $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ ra ngoài $8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$

Bước 11.3.3

Đưa $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ ra ngoài $8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 9)$

Bước 11.4

Cộng $6 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.5

Viết lại ${(x^{2} + 9)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ .

$8 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.6

Khai triển $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.7.1.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$8 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.7.1.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.7.1.3

Nhân $9$ với $9$ .

$8 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.7.2

Cộng $9 x^{2}$ và $9 x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(8 x^{4} + 8 (18 x^{2}) + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.9.1

Nhân $18$ với $8$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.9.2

Nhân $8$ với $81$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$

Bước 11.10

Khai triển $(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.11.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$8 \cdot 7 x^{4} x^{2} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.2

Nhân $x^{4}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.11.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$8 \cdot 7 (x^{2} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 \cdot 7 x^{2 + 4} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.2.3

Cộng $2$ và $4$ .

$8 \cdot 7 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.3

Nhân $8$ với $7$ .

$56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.4

Nhân $9$ với $8$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2} x^{2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.6

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.11.6.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 (x^{2} x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2 + 2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.6.3

Cộng $2$ và $2$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.7

Nhân $144$ với $7$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.8

Nhân $9$ với $144$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.9

Nhân $7$ với $648$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 648 \cdot 9$

Bước 11.11.10

Nhân $648$ với $9$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Bước 11.12

Cộng $72 x^{4}$ và $1008 x^{4}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Bước 11.13

Cộng $1296 x^{2}$ và $4536 x^{2}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 5832 x^{2} + 5832$