Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - x^{2}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- (2 x)) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- x^{2})) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $- 2 x$ với $1$ .

$\frac{- 2 x + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 2 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{1 + 2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{3})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Cộng $- 2 x^{3}$ và $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 0}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.2.2

Cộng $- 2 x - 2 x$ và $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$