Giải tích Ví dụ

$\tan (\sqrt{1 - x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - x}$ ở dạng ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 8.3

Di chuyển ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $- 1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 1 \cdot \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.3.2

Viết lại $- 1 \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ ở dạng $- \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$