Giải tích Ví dụ

$y = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- \frac{1}{16}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{2}}{16}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{16}) x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{16}$ .

$\frac{- 2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.5

Kết hợp $\frac{- 2}{16}$ và $x$ .

$\frac{- 2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (8)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{x}{8} + 2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 4.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.11

Kết hợp $\frac{- 2}{3}$ và $x^{- 3}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.12

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 6

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 6.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{8} - 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x}{8} + \frac{- 2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Bước 7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$