Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{\sin (\sqrt{x})}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}$ ở dạng ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 7.3

Di chuyển ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ và $\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 10

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 11

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 13.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 16

Nhân $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 17

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18.2

Tách các phân số.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18.3

Quy đổi từ $\frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ sang ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 18.4

Kết hợp $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ và ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$