Giải tích Ví dụ

$y = x^{\tan (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{\tan (x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\tan (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\tan (x)})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{\tan (x)})$ bằng cách di chuyển $\tan (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \tan (x) \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\tan (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x) \ln (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\tan (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 5

Kết hợp $\tan (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\frac{\tan (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 6

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\frac{\tan (x)}{x} + \ln (x) \sec^{2} (x))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\tan (x) \ln (x)} \frac{\tan (x)}{x} + e^{\tan (x) \ln (x)} (\ln (x) \sec^{2} (x))$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{\tan (x) \ln (x)}$ và $\frac{\tan (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\tan (x) \ln (x)} \tan (x)}{x} + e^{\tan (x) \ln (x)} \ln (x) \sec^{2} (x)$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{\tan (x) \ln (x)} \sec^{2} (x) \ln (x) + \frac{e^{\tan (x) \ln (x)} \tan (x)}{x}$