Giải tích Ví dụ

${(\frac{x + 5}{x^{2} + 2})}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$2 \frac{x + 5}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Bước 2

Kết hợp $2$ và $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 5$ và $g (x) = x^{2} + 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.3

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Nhân $x^{2} + 2$ với $1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.7

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 4.8.3

Nhân $\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2}$ với $\frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 5

Nhân $x^{2} + 2$ với ${(x^{2} + 2)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $x^{2} + 2$ với ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $x^{2} + 2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Bước 5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1 + 2}}$

Bước 5.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 + (- 2 x - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.2.2

Nhân $- 2$ với $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.3

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.4

Khai triển $(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x \cdot x + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.6.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 (x \cdot x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.7

Nhân $2$ với $- 10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.8

Nhân $- 1$ với $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.9

Nhân $10$ với $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.5.10

Nhân $- 10$ với $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 100 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.6

Trừ $100 x$ khỏi $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.4.7

Trừ $10 x^{2}$ khỏi $- 20 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.6

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 30 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 96 x$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.6.4

Đưa $2$ ra ngoài $20$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.6.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2})$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.6.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x)$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.6.7

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)$ .

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 15 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - (15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3}) - (15 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 48 x$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.12

Viết lại $10$ ở dạng $- 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.14

Viết lại $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ ở dạng $- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Bước 6.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$