Giải tích Ví dụ

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Bước 8

Nhân $\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 9

Di chuyển ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ với ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Di chuyển ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 10.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 10.1.4

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 10.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 10.2

Rút gọn $2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 5 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Bước 13

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

Bước 15

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Bước 16.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

Bước 16.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

Bước 16.4

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4} + 10 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

Bước 16.4.2

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $10 x^{2}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

Bước 16.4.3

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.5

Nhân $4 x^{3} + 10 x$ với $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ .

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.6.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 x^{3} + 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.6.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.6.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $10 x$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.6.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ .

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.7

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Bước 16.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Bước 16.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.8

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.8.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Bước 16.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.8.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Bước 16.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Bước 16.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$