Giải tích Ví dụ

$\frac{s}{1 + s^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ là $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ trong đó $f (s) = s$ và $g (s) = 1 + s^{2}$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Nhân $1 + s^{2}$ với $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + s^{2}$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $s$ , đạo hàm của $1$ đối với $s$ là $0$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (2 s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s \cdot s}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 3

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 4

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s^{1})}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{1 + 1}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 7

Trừ $2 s^{2}$ khỏi $s^{2}$ .

$\frac{1 - s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- s^{2} + 1}{{(s^{2} + 1)}^{2}}$