Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x^{2}$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $2$ với $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $12$ với $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 48 x + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.1.2.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $- 48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 48 x$ đối với $x$ là $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.1.2.3.3

Nhân $- 48$ với $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Bước 1.1.2.4.2

Cộng $12 x^{2} - 48$ và $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Bước 1.2.2

Cộng $48$ cho cả hai vế của phương trình.

$12 x^{2} = 48$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 48$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 48$ cho $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia $48$ cho $12$ .

$x^{2} = 4$

Bước 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 1.2.5

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 1.2.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 1.2.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 1.2.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 1.2.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - 2)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f'' (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} - 48$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 4) = 12 \cdot 16 - 48$

Bước 4.2.1.2

Nhân $12$ với $16$ .

$f'' (- 4) = 192 - 48$

Bước 4.2.2

Trừ $48$ khỏi $192$ .

$f'' (- 4) = 144$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $144$ .

$144$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, - 2)$ vì $f'' (- 4)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, - 2)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- 2, 2)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Bước 5.2.1.2

Nhân $12$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Bước 5.2.2

Trừ $48$ khỏi $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 48$ .

$- 48$

Bước 5.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- 2, 2)$ vì $f'' (0)$ âm.

Lồi trên $(- 2, 2)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 48$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 48$

Bước 6.2.1.2

Nhân $12$ với $16$ .

$f'' (4) = 192 - 48$

Bước 6.2.2

Trừ $48$ khỏi $192$ .

$f'' (4) = 144$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $144$ .

$144$

Bước 6.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(2, \infty)$ vì $f'' (4)$ dương.

Lõm trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, - 2)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(- 2, 2)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 8