Giải tích Ví dụ

$\frac{4 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 4 - \sec (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [4 - \sec (x)] - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - \sec (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sec (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 4

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 5

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (4 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Bước 8

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (4 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 4 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 4 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.1.2

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.1

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.1.2.2

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.2.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.1.3

Nhân $- - \sec^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.1.3.2

Nhân $\sec^{3} (x)$ với $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \sec (x) \tan^{2} (x) - 4 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - 4 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.2.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- 4 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 4 \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.2.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 4 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.2.4

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 4 \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 4 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.2.5

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 4 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 4 \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.3

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - 4 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.4

Sắp xếp lại $- \tan^{2} (x)$ và $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 4 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sec (x) (1 - 4 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 4 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.7

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- 4 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\sec (x) - 4 \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.9

Nhân $- 4 \sec (x) \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.9.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) - 4 (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.9.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) - 4 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.9.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sec (x) - 4 {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.3.9.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sec (x) - 4 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.4

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) - 4 \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - 4 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.4.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- 4 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 4 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.4.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 4 \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 - 4 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Bước 9.5

Đưa $\tan (x)$ ra ngoài $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 - 4 \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Bước 9.6

Tách các phân số.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Bước 9.7

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 9.8

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 9.9

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 9.10

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 9.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 9.11

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Bước 9.12

Kết hợp $\frac{1 - 4 \sec (x)}{\tan (x)}$ và $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - 4 \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Bước 9.13

Tách các phân số.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Bước 9.14

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 9.15

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 9.16

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 9.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.17.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Bước 9.17.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{1 - 4 \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Bước 9.18

Chia $1 - 4 \sec (x)$ cho $1$ .

$(1 - 4 \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Bước 9.19

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - 4 \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Bước 9.20

Nhân $\csc (x) \cot (x)$ với $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - 4 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$