Giải tích Ví dụ

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = a t - b t^{2}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (t)$ đối với $t$ là $\frac{1}{t}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a t - b t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $a$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $a t$ đối với $t$ là $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4.4

Nhân $a$ với $1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4.5

Vì $- b$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- b t^{2}$ đối với $t$ là $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 4.7.2

Kết hợp $3$ và $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Đưa $t$ ra ngoài $a t$ .

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $- b t^{2}$ .

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.4

Nhân $3 (- \ln (t) a)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.4.2

Sắp xếp lại $\ln (t)$ và $- 3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.4.3

Rút gọn $- 3 \cdot \ln (t)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.5

Nhân $- \ln (t) (- 2 b t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.5.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.5.2

Rút gọn $2 \ln (t)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.6

Nhân $3 (\ln (t^{2}) (b t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.6.1

Sắp xếp lại $\ln (t^{2})$ và $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.6.2

Rút gọn $3 \cdot \ln (t^{2})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.7

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.1.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Bước 5.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

Bước 5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $t$ ra ngoài $a t - t^{2} b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Đưa $t$ ra ngoài $a t$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

Bước 5.6.1.2

Đưa $t$ ra ngoài $- t^{2} b$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

Bước 5.6.1.3

Đưa $t$ ra ngoài $t a + t (- t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

Bước 5.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $t (a - t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$