Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0 \cos (4 \cdot 0)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 6.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0 \cos (0)}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 6.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{x + x \cos (5 x)}$

Bước 6.2

Đưa $x$ ra ngoài $x + x \cos (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{x^{1} + x \cos (5 x)}$

Bước 6.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{0 \cdot 1}{x \cdot 1 + x \cos (5 x)}$

Bước 6.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cos (5 x)$ .

$\frac{0 \cdot 1}{x \cdot 1 + x (\cos (5 x))}$

Bước 6.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (\cos (5 x))$ .

$\frac{0 \cdot 1}{x (1 + \cos (5 x))}$

Bước 6.3

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{0}{x (1 + \cos (5 x))}$

Bước 6.4

Chia $0$ cho $x (1 + \cos (5 x))$ .

$0$