Giải tích Ví dụ

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = - x^{2} + 1$

Bước 2

Rút gọn hàm được tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Bước 2.2

Khai triển $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.4

Nhân $x^{4}$ với $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.6

Nhân $- x^{2}$ với $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.7

Nhân $1$ với $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Bước 2.3.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ và $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{x^{5}}{5} + x$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Bước 10.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.4

Cộng $1$ và $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.10.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.10.2

Trừ $5$ khỏi $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.12

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.13

Nhân $\frac{6}{5}$ với $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.15

Cộng $6$ và $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.17

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Bước 10.2.3.18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 10.2.3.19

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Bước 10.2.3.20

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 10.2.3.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Bước 10.2.3.22

Cộng $1$ và $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Bước 10.2.3.23

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Bước 10.2.3.24

Nhân $- 2$ với $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Bước 10.2.3.25

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Bước 10.2.3.26

Để viết $\frac{12}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Bước 10.2.3.27

Để viết $- \frac{4}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 10.2.3.28

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.28.1

Nhân $\frac{12}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 10.2.3.28.2

Nhân $5$ với $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 10.2.3.28.3

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Bước 10.2.3.28.4

Nhân $3$ với $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Bước 10.2.3.29

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Bước 10.2.3.30

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.30.1

Nhân $12$ với $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Bước 10.2.3.30.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Bước 10.2.3.30.3

Trừ $20$ khỏi $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Bước 10.2.3.31

Kết hợp $π$ và $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Bước 10.2.3.32

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{16 π}{15}$

Dạng thập phân:

$V = 3.35103216 \dots$

Bước 12