Giải tích Ví dụ

Ước tính Giới Hạn giới hạn khi x tiến dần đến 0 của (tan(x)-x)/(x^3)
Bước 1
Áp dụng quy tắc l'Hôpital
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1
Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Bước 1.1.2
Tính giới hạn của tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.1
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.1.2.2
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.
Bước 1.1.2.3
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.3.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.1.2.3.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.1.2.4
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.4.1
Giá trị chính xác của .
Bước 1.1.2.4.2
Cộng .
Bước 1.1.3
Tính giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.3.1
Đưa số mũ từ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.
Bước 1.1.3.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.1.3.3
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 1.1.3.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 1.1.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 1.2
ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.
Bước 1.3
Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
Tính đạo hàm tử số và mẫu số.
Bước 1.3.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.3
Đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.4.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.4.3
Nhân với .
Bước 1.3.5
Sắp xếp lại các số hạng.
Bước 1.3.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 3
Áp dụng quy tắc l'Hôpital
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.1
Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Bước 3.1.2
Tính giới hạn của tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1
Tính giới hạn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.1
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 3.1.2.1.2
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 3.1.2.1.3
Đưa số mũ từ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.
Bước 3.1.2.1.4
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.
Bước 3.1.2.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.1.2.3
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.3.1
Sắp xếp lại .
Bước 3.1.2.3.2
Áp dụng đẳng thức pytago.
Bước 3.1.2.3.3
Giá trị chính xác của .
Bước 3.1.2.3.4
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 3.1.3
Tính giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.3.1
Đưa số mũ từ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.
Bước 3.1.3.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.1.3.3
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 3.1.3.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 3.1.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 3.2
ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.
Bước 3.3
Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.1
Tính đạo hàm tử số và mẫu số.
Bước 3.3.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.3
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.4.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.4.1.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 3.3.4.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.3.4.1.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 3.3.4.2
Đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.4.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.4.4
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.4.5
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 3.3.4.6
Cộng .
Bước 3.3.5
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.5.1
Cộng .
Bước 3.3.5.2
Viết lại theo sin và cosin.
Bước 3.3.5.3
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 3.3.5.4
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 3.3.5.5
Kết hợp .
Bước 3.3.5.6
Viết lại theo sin và cosin.
Bước 3.3.5.7
Kết hợp.
Bước 3.3.5.8
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.5.8.1
Nhân với .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.5.8.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.5.8.1.2
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 3.3.5.8.2
Cộng .
Bước 3.3.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.4
Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.
Bước 3.5
Nhân với .
Bước 3.6
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.6.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.6.2
Viết lại biểu thức.
Bước 4
Áp dụng quy tắc l'Hôpital
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Bước 4.1.2
Tính giới hạn của tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.
Bước 4.1.2.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 4.1.2.3
Giá trị chính xác của .
Bước 4.1.3
Tính giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.1
Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 4.1.3.2
Đưa số mũ từ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.
Bước 4.1.3.3
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.
Bước 4.1.3.4
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.4.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 4.1.3.4.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 4.1.3.5
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.5.1
Giá trị chính xác của .
Bước 4.1.3.5.2
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 4.1.3.5.3
Nhân với .
Bước 4.1.3.5.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 4.1.3.6
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 4.1.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 4.2
ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.
Bước 4.3
Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.1
Tính đạo hàm tử số và mẫu số.
Bước 4.3.2
Đạo hàm của đối với .
Bước 4.3.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.3.5
Nhân với .
Bước 4.3.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.6.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 4.3.6.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.3.6.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 4.3.7
Đạo hàm của đối với .
Bước 4.3.8
Nhân với .
Bước 4.3.9
Sắp xếp lại các số hạng.
Bước 5
Tính giới hạn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 5.2
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.
Bước 5.3
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 5.4
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 5.5
Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 5.6
Đưa số mũ từ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.
Bước 5.7
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.
Bước 5.8
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.
Bước 5.9
Đưa số mũ từ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.
Bước 5.10
Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.
Bước 6
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 6.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 6.3
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 6.4
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 6.5
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 7
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.1
Giá trị chính xác của .
Bước 7.2
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.2.1
Nhân với .
Bước 7.2.2
Giá trị chính xác của .
Bước 7.2.3
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 7.2.4
Nhân với .
Bước 7.2.5
Giá trị chính xác của .
Bước 7.2.6
Nhân với .
Bước 7.2.7
Giá trị chính xác của .
Bước 7.2.8
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 7.2.9
Cộng .
Bước 7.3
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.3.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 7.3.2
Viết lại biểu thức.
Bước 7.4
Nhân với .
Bước 8
Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.
Dạng chính xác:
Dạng thập phân: