Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{4} + 27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 27$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Bước 1.2.3

Vì $27$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $27$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Bước 1.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Bước 1.2.4.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Bước 1.2.4.3

Kết hợp $\frac{4}{x^{4} + 27}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 27$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.3.5

Vì $27$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $27$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.3.6.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.4

Nhân $x^{3}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.4.3

Cộng $3$ và $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp $4$ và $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.1

Nhân $x^{4}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.1.3

Cộng $2$ và $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.2

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.3

Nhân $3$ với $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.4

Nhân $81$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4.1.5

Nhân $- 4$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 2.6.4.2

Trừ $16 x^{6}$ khỏi $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{4} + 27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Bước 4.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Bước 4.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 27$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Bước 4.1.2.3

Vì $27$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $27$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Bước 4.1.2.4.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Bước 4.1.2.4.3

Kết hợp $\frac{4}{x^{4} + 27}$ và $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$4 x^{3} = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{3} = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{3} = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 5.3.1.2.1.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Bước 5.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x^{3} = 0$

Bước 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 5.3.3

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 5.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 9.1.2

Nhân $- 4$ với $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 9.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 9.1.4

Nhân $324$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 9.1.5

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

Bước 9.2.2

Cộng $0$ và $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

Bước 9.2.3

Nâng $27$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{729}$

Bước 9.3

Chia $0$ cho $729$ .

$0$

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

Bước 10.2.2.2.2

Cộng $16$ và $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

Bước 10.2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.3.1

Nhân $4$ với $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

Bước 10.2.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

Bước 10.2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

Bước 10.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

Bước 10.3.2.1.3

Cộng $2$ và $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

Bước 10.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

Bước 10.3.2.2.2

Cộng $16$ và $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

Bước 10.3.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

Bước 10.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

Bước 10.4

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 11