Giải tích Ví dụ

Tìm Cực Đại Địa Phương và Cực Tiểu Địa Phương y=(x^2-5)/(x-3)
Bước 1
Viết ở dạng một hàm số.
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.4
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.4.1
Cộng .
Bước 2.2.4.2
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 2.2.5
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.7
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.8
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.8.1
Cộng .
Bước 2.2.8.2
Nhân với .
Bước 2.3
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.3.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.3.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 2.3.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.4.1.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.4.1.1.1
Di chuyển .
Bước 2.3.4.1.1.2
Nhân với .
Bước 2.3.4.1.2
Nhân với .
Bước 2.3.4.1.3
Nhân với .
Bước 2.3.4.2
Trừ khỏi .
Bước 2.3.5
Phân tích thành thừa số bằng phương pháp AC.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.5.1
Xét dạng . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là và tổng của chúng là . Trong trường hợp này, tích số của chúng là và tổng của chúng là .
Bước 2.3.5.2
Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.
Bước 3
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.2
Nhân các số mũ trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 3.2.2
Nhân với .
Bước 3.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.4
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.4.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.4.3
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 3.4.4
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.4.4.1
Cộng .
Bước 3.4.4.2
Nhân với .
Bước 3.4.5
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.4.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.4.7
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 3.4.8
Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.4.8.1
Cộng .
Bước 3.4.8.2
Nhân với .
Bước 3.4.8.3
Cộng .
Bước 3.4.8.4
Trừ khỏi .
Bước 3.5
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.5.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 3.5.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.5.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 3.6
Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.6.1
Nhân với .
Bước 3.6.2
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.6.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.6.2.2
Đưa ra ngoài .
Bước 3.6.2.3
Đưa ra ngoài .
Bước 3.7
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.7.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.7.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.7.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3.8
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.9
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.10
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 3.11
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.11.1
Cộng .
Bước 3.11.2
Nhân với .
Bước 3.12
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 3.12.2
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.1
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.1.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 3.12.2.1.1.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 3.12.2.1.1.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 3.12.2.1.2
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.2.1.1
Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.
Bước 3.12.2.1.2.1.2
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.2.1.2.1
Di chuyển .
Bước 3.12.2.1.2.1.2.2
Nhân với .
Bước 3.12.2.1.2.1.3
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 3.12.2.1.2.1.4
Nhân với .
Bước 3.12.2.1.2.1.5
Nhân với .
Bước 3.12.2.1.2.2
Trừ khỏi .
Bước 3.12.2.1.3
Nhân với .
Bước 3.12.2.1.4
Khai triển bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.4.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 3.12.2.1.4.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 3.12.2.1.4.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 3.12.2.1.5
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.5.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.5.1.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.1.5.1.1.1
Di chuyển .
Bước 3.12.2.1.5.1.1.2
Nhân với .
Bước 3.12.2.1.5.1.2
Nhân với .
Bước 3.12.2.1.5.1.3
Nhân với .
Bước 3.12.2.1.5.2
Cộng .
Bước 3.12.2.2
Kết hợp các số hạng đối nhau trong .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.12.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 3.12.2.2.2
Cộng .
Bước 3.12.2.2.3
Cộng .
Bước 3.12.2.2.4
Cộng .
Bước 3.12.2.3
Trừ khỏi .
Bước 4
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 5
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.2
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.2.3
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.2.4
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.2.4.1
Cộng .
Bước 5.1.2.4.2
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 5.1.2.5
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.2.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.2.7
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.2.8
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.2.8.1
Cộng .
Bước 5.1.2.8.2
Nhân với .
Bước 5.1.3
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.3.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 5.1.3.2
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 5.1.3.3
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 5.1.3.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.3.4.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.3.4.1.1
Nhân với bằng cách cộng các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.3.4.1.1.1
Di chuyển .
Bước 5.1.3.4.1.1.2
Nhân với .
Bước 5.1.3.4.1.2
Nhân với .
Bước 5.1.3.4.1.3
Nhân với .
Bước 5.1.3.4.2
Trừ khỏi .
Bước 5.1.3.5
Phân tích thành thừa số bằng phương pháp AC.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.3.5.1
Xét dạng . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là và tổng của chúng là . Trong trường hợp này, tích số của chúng là và tổng của chúng là .
Bước 5.1.3.5.2
Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.
Bước 5.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 6
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 6.2
Cho tử bằng không.
Bước 6.3
Giải phương trình để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.1
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 6.3.2
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.2.1
Đặt bằng với .
Bước 6.3.2.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 6.3.3
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.3.3.1
Đặt bằng với .
Bước 6.3.3.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 6.3.4
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 7
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.1
Đặt mẫu số trong bằng để tìm nơi biểu thức không xác định.
Bước 7.2
Giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.2.1
Đặt bằng .
Bước 7.2.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 8
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 10
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1.1
Trừ khỏi .
Bước 10.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.2
Chia cho .
Bước 11
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 12
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 12.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 12.2.1.2
Trừ khỏi .
Bước 12.2.2
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 12.2.2.2
Chia cho .
Bước 12.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 14
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1.1
Trừ khỏi .
Bước 14.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.2
Chia cho .
Bước 15
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 16
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 16.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.1
Một mũ bất kỳ số nào là một.
Bước 16.2.1.2
Trừ khỏi .
Bước 16.2.2
Rút gọn biểu thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.2.1
Trừ khỏi .
Bước 16.2.2.2
Chia cho .
Bước 16.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 17
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực tiểu địa phương
là một cực đại địa phuơng
Bước 18