Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Bước 1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x \ln (x) + x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x \ln (x) + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.5

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.7

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Bước 2.4.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 x \ln (x) + x = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Bước 4.1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Bước 5.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x \ln (x) = - x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x \ln (x) = - x$ cho $2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x \ln (x) = - x$ cho $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 5.4

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Bước 5.5

Viết lại $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Bước 5.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Bước 5.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 6.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển $e^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

Bước 9.1.2

Khai triển $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

Bước 9.1.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

Bước 9.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Bước 9.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Bước 9.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Bước 9.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 + 3$

Bước 9.2

Cộng $- 1$ và $3$ .

$2$

Bước 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2.2.2

Rút gọn.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2.3

Di chuyển $e^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Bước 11.2.4

Khai triển $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Bước 11.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Bước 11.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Bước 11.2.7

Nhân $\frac{1}{e}$ với $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

Bước 11.2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

Bước 11.2.9

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13