Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x^{2}}{2 x - x^{2}}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Bước 2.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Bước 4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.1.3

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Bước 6.2.2.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.3

Chia $1$ cho $- 1$ .

$- 1$