Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2}}{x}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để viết $\frac{1}{2 + x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

Bước 1.2

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Bước 1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(2 + x) \cdot 2$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{1}{2 + x}$ với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Bước 1.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Bước 1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(2 + x) \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + x)} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Bước 1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}}{x}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2

Nhân $\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}$ với $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x) x}$

Bước 2.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 - (2 + x)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Bước 3.1.2

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Tính giới hạn của $2 - (2 + x)$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - (2 + 0)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Bước 3.1.2.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Bước 3.1.2.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 + x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Bước 3.1.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Bước 3.1.3.3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Bước 3.1.3.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Bước 3.1.3.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot 0}$

Bước 3.1.3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.5.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Bước 3.1.3.5.2

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.5.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - (2 + x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (2 + x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [2 + x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [2 + x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.4.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.4.5

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.5

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Bước 3.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 2 + x$ và $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Bước 3.3.8

Nhân $2 + x$ với $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Bước 3.3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

Bước 3.3.10

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Bước 3.3.11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \cdot 1}$

Bước 3.3.13

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x}$

Bước 3.3.14

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + 2 x}$

Bước 3.3.15

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 2}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $- 1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Bước 4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 4.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 4.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Bước 5

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 2}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 2}$

Bước 6.1.2

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$- 0.25$