Giải tích Ví dụ

$\sec^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Bước 1.3

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Bước 1.4

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Bước 1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec^{2} (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 2.4

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 2.4.2

Cộng $2$ và $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Bước 2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 2.7

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 2.8

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Bước 2.9

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

Bước 2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Bước 2.11

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Bước 2.12

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

Bước 2.13

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

Bước 2.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Bước 2.15

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Bước 2.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Bước 2.16.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 2.16.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.2

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.6

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.7

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.7.3

Cộng $2$ và $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.9

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.10

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.13

Nhân $\tan^{2} (x)$ với $\tan (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.13.1

Di chuyển $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.13.2

Nhân $\tan (x)$ với $\tan^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.13.2.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.13.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.13.3

Cộng $1$ và $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.2.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sec^{4} (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.3.3

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 3.3.4

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

Bước 3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

Bước 3.3.6

Cộng $1$ và $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

Bước 3.3.7

Nhân $4$ với $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Bước 3.4.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Bước 3.4.2.3

Cộng $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ và $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (x) \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 \sec^{4} (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan (x)]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec^{4} (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.5

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$16 (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.6

Nhân $\sec^{4} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 ({\sec (x)}^{4 + 2} + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.6.2

Cộng $4$ và $2$ .

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.7

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.9

Cộng $1$ và $3$ .

$16 (\sec^{6} (x) + \tan (x) (4 \sec^{4} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.10

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.11

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.2.13

Cộng $1$ và $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \tan^{3} (x)$ và $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Bước 4.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Bước 4.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Bước 4.3.4

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)])$

Bước 4.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

Bước 4.3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

Bước 4.3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]))$

Bước 4.3.6

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.7

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.8

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.10

Cộng $1$ và $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.11

Nhân $\tan^{3} (x)$ với $\tan (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.11.1

Di chuyển $\tan (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan (x) \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.11.2

Nhân $\tan (x)$ với $\tan^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.11.2.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{1} (x) \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 ({\tan (x)}^{1 + 3} (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.11.3

Cộng $1$ và $3$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\tan^{4} (x) (2 \sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan^{4} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \cdot \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))$

Bước 4.3.13

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.13.1

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (3 \tan^{2} (x)))$

Bước 4.3.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + {\sec (x)}^{2 + 2} (3 \tan^{2} (x)))$

Bước 4.3.13.3

Cộng $2$ và $2$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) (3 \tan^{2} (x)))$

Bước 4.3.14

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec^{4} (x)$ .

$16 (\sec^{6} (x) + 4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \sec^{6} (x) + 16 (4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Bước 4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 \sec^{6} (x) + 16 (4 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Bước 4.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Nhân $4$ với $16$ .

$16 \sec^{6} (x) + 64 (\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)) + 8 (2 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Bước 4.4.3.2

Nhân $2$ với $8$ .

$16 \sec^{6} (x) + 64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 (\tan^{4} (x) \sec^{2} (x)) + 8 (3 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Bước 4.4.3.3

Nhân $3$ với $8$ .

$16 \sec^{6} (x) + 64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 24 (\sec^{4} (x) \tan^{2} (x))$

Bước 4.4.3.4

Cộng $64 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ và $24 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$16 \sec^{6} (x) + 88 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 4.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f^{4} (x) = 88 \sec^{4} (x) \tan^{2} (x) + 16 \tan^{4} (x) \sec^{2} (x) + 16 \sec^{6} (x)$