Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

Bước 1.2

Nhân $i$ với $i^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $i$ với $i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

Bước 1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$i^{3} + i \cdot 1$

Bước 1.3

Nhân $i$ với $1$ .

$i^{3} + i$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

Bước 3

Tính $\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $3$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $10$ và $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.3

Nâng $11$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $100$ với $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Bước 3.3.2.2

Chia $12100$ cho $4$ .

$3025$

Bước 4

Tính $\sum_{i = 1}^{10} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Bước 4.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Bước 4.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Bước 4.3.1.2.4

Chia $5 (10 + 1)$ cho $1$ .

$5 (10 + 1)$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Cộng $10$ và $1$ .

$5 \cdot 11$

Bước 4.3.2.2

Nhân $5$ với $11$ .

$55$

Bước 5

Cộng các kết quả của tổng.

$3025 + 55$

Bước 6

Cộng $3025$ và $55$ .

$3080$