Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 5 \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $5 \sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $25$ ra ngoài $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $25$ ra ngoài $- 25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $25$ ra ngoài $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $25 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5 \tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $5 \tan (t)$ ra ngoài $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sec (t) d t$

Bước 3

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x}{5})) |) + C$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) |) + C$