Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 2 \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.7

Viết lại $4 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2 \sec (t)$ ra ngoài $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sec (t) d t$

Bước 3

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |) + C$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} x)) |) + C$