Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

Bước 1

Di chuyển $x^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Bước 2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

Bước 3

Khai triển $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.4

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.7

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.8

Sắp xếp lại $1$ và $- 3 x^{- 2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

Bước 3.9

Di chuyển $1$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Bước 5

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Bước 7

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $x^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

Bước 9.2

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$