Giải tích Ví dụ

$\int \sec^{6} (x) d x$

Bước 1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $6$ ở dạng $4$ cộng $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Bước 1.2

Viết lại ${\sec (x)}^{4 + 2}$ ở dạng $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 1.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Bước 1.4

Viết lại ${\sec (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Bước 4

Khai triển ${(1 + u^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(1 + u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

Bước 4.5

Sắp xếp lại $u^{2}$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 4.6

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 4.7

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 4.8

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 4.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 4.10

Cộng $2$ và $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

Bước 4.11

Cộng $u^{2}$ và $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

Bước 4.12

Sắp xếp lại $2 u^{2}$ và $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

Bước 4.13

Di chuyển $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$