Giải tích Ví dụ

$\int x^{11} \ln (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{11}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{12} x^{12}) - \int \frac{1}{12} x^{12} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $x^{12}$ .

$\ln (x) \frac{x^{12}}{12} - \int \frac{1}{12} x^{12} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{12}}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \int \frac{1}{12} x^{12} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int x^{12} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{12}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x^{12}}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{12}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x^{1}} d x)$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x \cdot x^{11}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int \frac{x^{11}}{1} d x)$

Bước 4.2.2.5

Chia $x^{11}$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - (\frac{1}{12} \int x^{11} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} \int x^{11} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{11}$ đối với $x$ là $\frac{1}{12} x^{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} (\frac{1}{12} x^{12} + C)$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} (\frac{1}{12} x^{12} + C)$ ở dạng $\frac{1}{12} \ln (x) x^{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$ .

$\frac{1}{12} \ln (x) x^{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{12} x^{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{\ln (x)}{12}$ và $x^{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} x^{12} + C$

Bước 6.2.3

Nhân $\frac{1}{12}$ với $\frac{1}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{12 \cdot 12} x^{12} + C$

Bước 6.2.4

Nhân $12$ với $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{12}}{12} - \frac{1}{144} x^{12} + C$

$\frac{1}{12} \ln (x) x^{12} - \frac{1}{144} x^{12} + C$