Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x - 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.2

Kết hợp.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.6

Nhân $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Khai triển $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.7

Nhân $u^{- \frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 11.2

Để viết $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 11.3

Kết hợp $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Bước 11.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Bước 11.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Đưa $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1

Di chuyển ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Bước 11.5.1.2

Đưa $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Bước 11.5.1.3

Đưa $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)}{3} + C$

Bước 11.5.1.4

Đưa $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 3)}{3} + C$

Bước 11.5.2

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{1} + 3)}{3} + C$

Bước 11.5.3

Rút gọn.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1 + 3)}{3} + C$

Bước 11.5.4

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2)}{3} + C$

Bước 11.5.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2)}{3} + C$

Bước 11.5.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (1))}{3} + C$

Bước 11.5.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 1)}{3} + C$

Bước 11.5.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$

Bước 11.6

Kết hợp.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

Bước 11.7

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

Bước 11.8

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{3} + C$

Bước 11.9

Nhân ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$