Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Bước 2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Bước 2.2.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Bước 2.2.1.4

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2.1.5

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Bước 2.2.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 2.2.1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Bước 2.2.2.2

Viết lại ${\sec (t)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (t)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 4

Giả sử $u = \tan (t)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \tan (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (t)$ đối với $t$ là $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Bước 5

Nhân $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 6.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$