Giải tích Ví dụ

$\int x e^{3 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 6 x e^{3 x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x^{2}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{3 x^{2}} (3 (2 x))$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$e^{3 x^{2}} (6 x)$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{3 x^{2}} (6 x)$ .

$6 e^{3 x^{2}} x$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 e^{3 x^{2}} x$ .

$6 x e^{3 x^{2}}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{6} d u_{2}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{6} u_{2} + C$

Bước 3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{1}{6} e^{3 x^{2}} + C$