Giải tích Ví dụ

$\int 3 t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Bước 2

Giả sử $u = t^{3} + 2$ . Sau đó $d u = 3 t^{2} d t$ , nên $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = t^{3} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $t^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{3} + 2$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [2]$

Bước 2.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $2$ đối với $t$ là $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $3 t^{2}$ và $0$ .

$3 t^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3

Nhân $\int \sqrt{u} d u$ với $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{3} + 2$ .

$\frac{2}{3} {(t^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$