Giải tích Ví dụ

$\int 2 x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 5 + 4 x^{3}$ . Sau đó $d u = 12 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 5 + 4 x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 4 x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + 4 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{12} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt[4]{u}$ và $\frac{1}{12}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{12} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{12} \int \sqrt[4]{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $2$ .

$\frac{2}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{4}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{4}}$ đối với $u$ là $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $6$ với $5$ .

$\frac{4}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (2)}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{15} {(5 + 4 x^{3})}^{\frac{5}{4}} + C$