Giải tích Ví dụ

$\int x \arcsin (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arcsin (x)$ và $d v = x$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\arcsin (x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Bước 4

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 5

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 6.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \sin^{2} (t) d t$

Bước 7

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Bước 13

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 13.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 13.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 13.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 14

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 15

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 16

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 17

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 18.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Kết hợp $\sin (2 \arcsin (x))$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Bước 19.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} \arcsin (x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Bước 19.3

Kết hợp $\arcsin (x)$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Bước 19.4

Nhân $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Bước 19.4.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Bước 19.4.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4 \cdot 2} + C$

Bước 19.4.4

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Bước 19.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Bước 19.6

Kết hợp $\frac{\arcsin (x)}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} \arcsin (x)}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Bước 20.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x)) + C$